А. Бешéнов

Оценка на числа Бетти полуалгебраических множеств, определенных над квадратичными отображениями

3 ноября 2011 г.

Пусть $R$ — вещественно замкнутое поле, а $Q\colon R^n \to R^k$ — квадратичное отображение. Пусть заданы $s$ полиномов от $k$ переменных $Y_1, \ldots, Y_k$, каждый степени не более $d$:

$$\mathcal{P} \mathrel{\mathop:}= \{ p_1, \ldots, p_s \},\quad p_i \in R [Y_1, \ldots, Y_k],\quad\deg p_i \le d.$$

Пусть также имеется бескванторная булева формула $S (Y_1, \ldots, Y_k)$, атомы которой имеют вид

$$p_i (Y_1, \ldots, Y_k) \mathop{\triangleleft_j} 0, \quad \triangleleft_j \in \{ <, \le, = \}.$$

Рассмотрим полуалгебраическое множество

$$\mathcal{X} \mathrel{\mathop:}= \{ (x_1, \ldots, x_n) \in R^n \mid S (Q (x_1, \ldots, x_n)) \}.$$

Тогда сумму чисел Бетти $b (\mathcal{X}) \mathrel{\mathop:}= \sum_i b_i (\mathcal{X})$ можно оценить через параметры $n$, $k$, $s$, $d$ как

$$b (\mathcal{X}) \le (s\,d\,n)^{O(k)}.$$

Доклад по текущей работе докладчика в сотрудничестве с Д. Пасечником (Nanyang Technological University, Singapore) и Д. Григорьевым (Centre national de la recherche scientifique, Paris).