Алгебра с использованием компьютера, 11-й класс (2011в)

Адрес эл. почты для связи с преподавателями: algebra2011v@gmail.com.

Задачи, 1-е полугодие

  1. На гиперболе y=1/x выбрана точка P на расстоянии r от начала координат. Касательная к гиперболе, проведенная в точке P, пересекает ось OY в точке A, а ось OX — в точке B. Найдите длину отрезка AB (как функцию от r).
  2. На параболе y=x2 выбрана точка P(x,x2). Касательная к параболе, проведенная в точке P, пересекает ось OX в точке A, а нормаль к параболе, проведенная в точке P, пересекает ось OX в точке B. Найдите минимальное и максимальное возможное значение площади треугольника PAB.
  3. Из точки C на эллипсе провели отрезки CA и CB к фокусам эллипса, а также касательную к эллипсу. Докажите, что углы между этими отрезками и касательной равны.
  4. Найдите точку P на графике y=x3, такую, что часть нормали к графику в точке P, лежащая в первой четверти, делится точкой P пополам.
  5. На графике функции y=1/x2 выбрана точка P. Касательная к гиперболе, проведенная в точке P, пересекает ось OY в точке A, а ось OX — в точке B. а) Докажите, что AP=2 BP; б) обобщите это утверждение для графика y=1/xn.
  6. На графике y=(ex+e-x)/2 выбрана точка P с положительной абсциссой. Рассмотрим следующий способ проведения касательной к графику в точке P:

    Опустим перпендикуляр PQ на ось OX. С центром в вершине графика (в самой нижней точке графика) A проведем окружность радиуса PQ. Точку пересечения окружности с осью OX с положительной абсциссой назовем B. Из точки P опустим перпендикуляр на прямую AB — это и будет касательная к графику.

    Докажите верность данного способа.
  7. На гиперболе x2-y2=1 выбрана точка M в первой четверти. Рассмотрим следующий способ проведения касательной к гиперболе в точке M:

    Опустим перпендикуляр MN на прямую x=1. Проведем отрезок ON и единичную окружность, их точку пересечения назовем P. Из нее опустим перпендикуляр PQ на ось OX. Прямая QM — и есть касательная к гиперболе.

    Докажите верность данного способа.
  8. Точка M с координатами (x, y) а) лежит вне эллипса с фокусами (-1,0) и (1,0), проходящего через точку (2,0); б) лежит между ветвями гиперболы с фокусами (-1,0) и (1,0), проходящей через точку (1,1). Из точки M проводятся касательные MP и MQ к этой кривой, а также прямые MF1 и MF2 к фокусам этой кривой. Сравните величины углов PMF1 и QMF2.
  9. a) Из точки P вне эллипса с фокусами F1 и F2 проведены касательные PM и PN к точкам M и N на эллипсе. Докажите, что луч F1P является биссектрисой угла MF1N.
    б) Хорда AB эллипса с фокусами F1 и F2 проходит через фокус F1. Касательные, проведенные к эллипсу в точках A и B пересекаются в точке P. Докажите, что AB перпендикулярно F1P.
    в) Найдите ГМТ точек P таких, что касательные, проведенные из P к данному эллипсу, перпендикулярны.
  10. Фигура F ограничена прямыми x=0, x=1, y=0 и кривой y=1+x2.
    Из фигуры требуется вырезать трапецию, основания которой лежат на прямых x=0 и x=1.
    Укажите длины оснований, при которых достигается наибольшая возможная площадь трапеции.
  11. На основании BC равнобедренного треугольника ABC с боковой стороной 1 во внешнюю сторону стоят полуокружность как на диаметре. При какой длине основания площадь полученной фигуры (объединение треугольника и полукруга) будет максимальной?

Задачи, 2-е полугодие

  1. Доказать, что среди всех равнобедренных треугольников, описанных вокруг данной окружности, наименьшую площадь (и наименьший периметр) имеет равносторонний.
  2. Исследовать свойства, особенности и характеристики Декартова листа, задаваемого уравнением x3 + y3 - 3axy = 0.
  3. Циссоида Диокла
    • Найти уравнение циссоиды Диокла — в декартовых координатах и в полярных;
    • Исследовать асимптотическое поведение циссоиды;
    • Рассмотрим «верхнюю часть» циссоиды, это функция y(x). Найти ее производную в произвольной точке;
    • Найти площадь фигуры, ограниченной циссоидой и касательной;
    • Найти полщадь «линзы» между циссоидой и окружностью;
    • (*) Решить задачу об удвоении куба. (Подсказка).
  4. Шестиугольник ABCDEF таков, что ABCD и ADEF — равные равнобокие трапеции с общим основанием. Каков минимальный возможный его периметр, если его площадь равна S, а высота (т. е. расстояние между прямыми BC и EF) равна 1?
  5. Исследовать свойства астроиды (x2/3 + y2/3 = 1).
  6. Два туриста вышли одновременно — один из пункта A в пункт B, а другой — из B в A. Каждый шел с постоянной скоростью и, придя в конечный пункт, немедленно повернул обратно. Первый раз туристы встретились в m км от пункта B, второй раз — в n км от B. Найдите расстояние между пунктами A и B.
  7. Пятиугольником Рейнхардрта называется пятиугольник ABCDE, в котором все стороны равны, углы C и E прямые, а углы A и B равны. Найти как можно больше его (нетривиальных) свойств.
    • Им можно замостить плоскость;
    • Он не вписанный и не описанный;
    • Пусть O — середина стороны AB. Тогда площадь пятиугольника равна |OC|2;
    • Пусть Q — четвертая вершина квадрата BCDQ. Тогда Q принадлежит отрезку OE;
    • Пусть S — точка пересечения AC и BE. Тогда длина отрезка DS равна длине стороны пятиугольника;
    • Биссектриса угла EDS пересекает диагональ BE под прямым углом;
    • Биссектрисы углов BCD и ODE пересекаются в точке, принадлежащей отрезку AE;
    • Угол EDC в четыре раза больше угла BAC и в два раза больше угла ECB;
    • AC является биссектрисой угла BCE.

Ссылки