Зачетные задачи

Решения зачетных задач надо присылать по адресу geometry2012a@gmail.com в электронном виде (формат DOC).

Задача 1

В квадрате ABCD со стороной a отметили середины сторон:

Прямые AC', A'C, BD' и B'D образуют квадрат. Найдите его площадь.

Задача 2

В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с вершиной прямого угла С провели медиану AD. Перпендикуляр из вершины С на прямую AD пересекает гипотенузу в точке E. В каком отношении делит гипотенузу точка E?

Найдите не менее пяти различных решений этой задачи.

Одно из них — наиболее понравившееся вам — пришлите в электронном виде.

Задача 3

В треугольнике ABC провели медиану AD. E — середина AD. В каком отношении делит сторону AB прямая CE?

Задача 4

В квадрате ABCD точки E и F — середины сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE и BF пересекаются в точке G.
Что больше — площадь треугольника AGF или площадь четырехугольника GECF?

Задача 5

В условиях предыдущей задачи E и F не середины сторон, а произвольные точки на сторонах BC и CD соответсвенно, находящиеся на равном расстоянии от вершины С.
Может ли площадь треугольника AGF быть равна площади четырехугольника GECF?

Задача 6

В окружность с радиусом R вписан четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Докажите, что сумма квадратов длин четырех отрезков, на которых диагонали делятся в точке пересечения, является константой (то есть не зависит от выбора четырехугольника).

Задача 7

В условиях предыдущей задачи угол между диагоналями равен не π/2, а α. Верно ли, что рассматриваемая сумма квадратов является константой?
Можете рассмотреть случай α=π/3.

Задача 8

Треугольник ABC равносторонний. Точки C и D находятся по разные стороны от прямой AB. Угол ADB равен 120 градусам.

Известно, что AD=a, BD=b. Найдите CD.