Решения зачетных задач надо присылать по адресу geometry2012a@gmail.com в электронном виде (формат DOC).
Теорема о бабочке (задача 13)
Точка P является серединой хорды AB некоторой окружности. Хорды CD и EF той же окружности проходят через точку P. Отрезки CF и ED пересекают хорду AB в точках M и N соответственно. Докажите, что P — середина MN.
Доказательство 1.
Основная идея: проведем серединный перпендикуляр к хорде AB, и отразим относительно него точки D, E и N, получив точки D', E' и N' соотвественно. Задача — доказать, что N' совпадет с M.
Пункты доказательства:
-
∠CPB=∠APD=∠BPD';
∠CFD'=∠CPB=∠BPD';
Четырехугольник FMPD' — вписанный;
∠CDE=∠CFE=∠MFP=∠MD'P;
N' совпадает с M.
Доказательство 2.
Основная идея: отразим относительно точки P точки D, E и N, получив точки D', E' и N' соотвественно. Задача — доказать, что N' совпадет с M.
Рассматриваются три окружности:
-
изначальная (описанная в условии);
проходящая через точки A, B, D' и E';
проходящая через точки C, F, D' и E'.
Для этих трех окружностей применяется лемма о радикальных осях, откуда N' = M.
Лемма (о радикальных осях).
Имеются три окружности. Одна пара окружностей пересекается в точках A и B, другая пара — в точках C и D, третья пара — в точках E и F. Тогда прямые AB, CD и EF пересекаются в одной точке.