Зачетные задачи

Решения зачетных задач надо присылать по адресу geometry2012a@gmail.com в электронном виде (формат DOC).

Ортоцентрический треугольник (задача 14)

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH1, BH2 и CH3. Треугольник H1H2H3 называестся ортоцентрическим. Точка пересечения высот H называется ортоцентром. Лучи AH1, BH2 и CH3 пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках N1, N2 и N3 соответственно. Описанная окружность имеет радиус R, треугольник ABC имеет площадь S.

  1. Радиус окружности, описанной вокруг ортоцентрического треугольника, равен R/2.
  2. (Гипотеза Лежнина) AH1, BH2 и CH3 — биссектрисы углов ортоцентрического треугольника.
  3. Величины углов ортоцентрического треугольника таковы:
    ∠H2H1H3 = 180°−2∠A;
    ∠H1H2H3 = 180°−2∠B;
    ∠H1H3H2 = 180°−2∠C.
  4. Длины сторон ортоцентрического треугольника таковы:
    H2H3 = BC cos∠A;
    H1H3 = AC cos∠B;
    H1H2 = AB cos∠C.
  5. Углы между сторонами ортоцентрического треугольника и сторонами треугольника ABC таковы: ∠BH1H3 = ∠A;
    ∠CH2H1 = ∠B;
    ∠AH3H2 = ∠C.
  6. Полупериметр ортоцентрического треугольника равен S/R.
  7. Отрезки OA и H2H3 перпендикулярны.
  8. Точка, симметричная H относительно середины AB, принадлежит описанной окружности треугольника ABC.
  9. (Гипотеза Сенкевича) Из всех треугольников, вписанных в треугольник ABC, ортоцентрический имеет наименьший периметр.
  10. (Гипотеза Матюшина; опровергнута В. Тухом) Построим ортоцентрический треугольник для ортоцентрического треугольника, и так далее. Такие треугольники подобны через один; их ортоцентры совпадают через один.
  11. (Гипотеза Панина) Точка H является серединой OO', где O' — центр окружности, описанной вокруг треугольника H1H2H3.
  12. (окружность девяти точек) Середины сторон треугольника ABC, основания высот H1, H2, H3, а также середины отрезков AH, BH, CH лежат на одной окружности.